问题 D: 【18NOIP提高组】填数游戏

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题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个n×m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 0 或者数字 1),填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

*我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意:行列坐标均从 0开始编号)

*合法路径 P:一条路径是合法的当且仅当:

1.这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)出发,到矩形的右下角格子(n−1,m−1)结束;

2.在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是p1:(0,0)→(0,1)→(1,1)和p2:(0,0)→(1,0)→(1,1)。

对于一条合法的路径 P,我们可以用一个字符串w(P)来表示,该字符串的长度为n+m−2,其中只包含字符“R”或者字符“D”,第 i 个字符记录了路径 P 中第 i步的移动方法,“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“D”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径p1,有w(P1)="RD";而对于另一条路径p2,有w(P2)= "DR"。

同时,将每条合法路径 P经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为n+m−1的 01 字符串,记为 s(P)。例如,如果我们在格子(0,0)和(1,0)上填入数字0,在格子(0,1)和(1,1)上填入数字 1(见上图红色数字)。那么对于路径p1,我们可以得到s(P1)="011",对于路径p2,有s(P2)="001"

游戏要求小 D 找到一种填数字 0、10、1 的方法,使得对于两条路径p1,P2,如果w(P1)>w(P2),那么必须s(P1)≤s(P2)。我们说字符串 a 比字符串 b 小,当且仅当字符串 a的字典序小于字符串b 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 0、1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对109+7取模的结果。

输入格式

输入共一行,包含两个正整数 n、m,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 n表示矩形表格的行数,m 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 0、1的方法能满足游戏的要求。注意:输出答案对 109+7取模的结果。

输入样例 复制

2 2

输出样例 复制

12

数据范围与提示

【样例解释】

样例输入2】

3 3

【样例输出2】

112

【样例输入3】

5 5

【样例输出3】

7136

【数据规模与约定】

测试点编号 n≤ m≤
1∼4 3 3
5∼10 2 1000000
11∼13 3 1000000
14∼16 8 8
17∼20 8 1000000