P3485 - 观光旅游-【2014暑期训练】T5Day1T3

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观光旅游

【问题描述】

学校里面有Ｎ个景点。两个景点之间可能直接有道路相连，用Dist[I，J]表示它的长度；否则它们之间没有直接的道路相连。这里所说的道路是没有规定方向的，也就是说，如果从I到J有直接的道路，那么从J到I也有，并且长度与之相等。学校规定：每个游客的旅游线路只能是一个回路（好霸道的规定）。也就是说，游客可以任取一个景点出发，依次经过若干个景点，最终回到起点。求出最优的路线。

【文件输入】trip.in

输入中有多组数据。请用SeekEof判断是否到达文件结束。

对于每组数据：

第一行有两个正整数N，M，分别表示学校的景点个数和有多少对景点之间直接有边相连。（N<=100,M<=10000）

以下M行，每行三个正整数，分别表示一条道路的两端的编号，以及这条道路的长度。

【文件输出】trip.out

对于每组数据，输出一行：

如果该回路存在，则输出一个正整数，表示该回路的总长度；

否则输出“No solution.”（不要输出引号）

【输入样例】

1 4 1

3 1 10

1 2 16

2 3 100

2 5 15

5 3 20

4 3

1 2 10

1 3 20

1 4 30

【输出样例】

No solution.

最小环问题
<1>朴素的算法：
   令e(u,v)表示u和v之间的连边，再令min(u,v)表示，删除u和v之间的连边之后，u和v之间的最短路
最小环则是min(u,v) + e(u,v)，时间复杂度是EV2。
<2>改进的方法：
   在floyd的同时，顺便算出最小环
   g[i][j]=(i,j之间的边长)
   dist:=g;
   for k:=1 to n do
    begin
      for i:=1 to k-1 do
        for j:=i+1 to k-1 do
            answer:=min(answer,dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);
      for i:=1 to n do
         for j:=1 to n do
             dist[i][j]:=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
    end;
   关于算法<2>的证明：
    一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度
    根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径

综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

补充理解：

一个错误的做法：

w预处理出任意两点之间的最短路径，记作min(u,v)

w枚举三个点w,u,v，最小环则是min(u,w) + min(w,v) + e(u,v)的最小值

w如果考虑min(u,w)包含边u-v的情况？

w一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度

w根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径

w综上所述，该算法一定能找到图中最小环

模拟赛-2014暑期训练

3485: 观光旅游-【2014暑期训练】T5Day1T3

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